《什麼是數學：對思想和方法的基本研究》本書是世界著名的數學科普讀物，它搜集了許多經典的數學珍品，對整個數學領域中的基本概念與方法，做了精深而生動的闡述。無論是數學專業人士，或是願意作數學思考者都可以閱讀此書。特別對中學數學教師、大學生和高中生，都是一本極好的參考書。
《什麼是數學：對思想和方法的基本研究》（What is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods）是一部享譽全球的數學科普經典，由德國裔美國數學家李察·科朗（Richard Courant）與美國數學家赫伯特·羅賓斯（Herbert Robbins）合著，自1941年首次出版以來，影響了無數學生、教師以及廣大數學愛好者。本書旨在以清晰且深入淺出的方式，闡述數學的核心思想與基本方法，引導讀者窺見數學世界的宏偉與魅力。
本書的核心宗旨，正如其名，並非提供一套制式的數學問題解法，而是回歸數學的本質，探討「數學是什麼」。作者在前言中即批評當時數學教育過於偏重形式上的演算，而忽略了對數學真正理解與獨立思考能力的培養。因此，本書致力於將數學視為一個有機的整體，而非一系列孤立的學科，並強調直觀理解與邏輯推理的結合。
全書內容廣博，涵蓋了從最基礎的數論到較為高深的拓撲學與微積分等多元主題。其章節安排具備相當的獨立性，讀者可依自身興趣選擇閱讀，而不會因錯過前面章節而影響後續理解。
數論 (The Natural Numbers): 書本從最基本的自然數出發，探討了數系的建立、數學歸納法等基本概念。同時也引導讀者思考質數、同餘等數論中的經典問題，例如費馬小定理與哥德巴赫猜想等，展現了數學的深度與未解之謎。
數系 (The Number System of Mathematics): 這一部分將數字的範疇從自然數擴展到有理數、無理數與複數。書中詳細解釋了無理數的發現對古希臘數學造成的衝擊，以及極限概念的引入如何解決了這一危機，為微積分的發展奠定基礎。
幾何學 (Geometrical Constructions; Projective Geometry): 本書花了相當篇幅探討幾何學，不僅介紹了尺規作圖的基本原理與三大古典問題（化圓為方、三等分角、倍立方體），更引領讀者進入射影幾何等非歐幾里得幾何的領域，打破了傳統歐氏幾何的框架，展現了更為廣闊的幾何世界。
拓撲學 (Topology): 科朗與羅賓斯以極具啟發性的方式介紹了拓撲學這門研究空間在連續變換下不變性質的學科。透過潘卡萊-歐拉公式、四色問題以及莫比烏斯帶等引人入勝的例子，揭示了這個看似抽象領域的直觀本質與趣味性。
微積分 (Calculus): 在處理微積分時，本書同樣著重於其基本思想，而非繁複的計算技巧。作者闡述了極限、導數與積分的核心概念，並探討了極大值與極小值問題（變分法），展示了微積分作為描述變化的強大工具。
1996年，英國著名數學科普作家伊恩·史都華（Ian Stewart）為本書增寫了第九章，使這部經典著作與時俱進。新增的章節主要介紹了原版出版後數學領域的一些重大突破，包括：
四色定理的證明： 這個困擾數學家超過一世紀的著名問題，最終在1976年藉助電腦輔助得以證明。
費馬大定理的證明： 由英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）在1994年完成的證明，是20世紀最重大的數學成就之一。
史都華的補充不僅更新了書中的知識，也再次印證了數學是一門持續發展、充滿活力的學科。
《什麼是數學》不僅僅是一本數學知識的普及讀物，更是一部引導讀者如何進行「數學式思考」的啟蒙之作。它成功地向大眾展示了數學並非枯燥的符號遊戲，而是充滿創造性、美感與深刻思想的人類智慧結晶。本書適合所有對數學懷有好奇心的讀者，無論是希望打好基礎的中學生、大學生，尋求教學靈感的教師，還是僅僅想一窺數學堂奧的社會人士，都能從中獲得極大的樂趣與啟發。誠如愛因斯坦的讚譽，本書「清晰地闡述了整個數學領域的基本概念和方法」，是一部能開啟數學世界大門的傑作。
书摘部分：
什麼是數學
數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理以及對完美境界的追求．它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性．雖然不同的傳統可以強調不同的側面，然而正是這些互相對立的力量的相互作用以及它們綜合起來的努力才構成了數學科學的生命、用途和它的崇高價值．
毫無疑問，一切數學的發展在心理上都或多或少地是基於實際的．但是理論一旦在實際的需要中出現，就不可避免地會使它自身獲得發展的動力，並超越出直接實用的侷限．這種從應用科學到理論科學的發展趨勢，不僅常見於古代歷史中，而且在工程師和物理學家為近代數學不斷作出的許多貢獻中更是屢見不鮮．
有記載的數學起源於東方．大約在公元前兩千年，巴比倫人就蒐集了極其豐富的資料，這些資料今天看來應屬於初等代數的範圍．至於數學作為現代意義的一門科學，則是遲至公元前5至公元前4世紀才在希臘出現的．東方和希臘之間的接觸不斷增多（始於波斯帝國時期，至亞歷山大遠征時期則達到高峰），使希臘人得以熟悉巴比倫人在數學和天文學方面的成就，數學很快就被加入到風行於希臘城邦的哲學討論之中．因而希臘的思想家逐漸意識到，在連續、運動、無限大這些概念中，以及在用已知單位去度量任意一個量的問題中，數學都存在著固有的極大困難．面對這個挑戰，經過了一番不屈不撓的努力，產生了歐多克斯（Eudoxus）的幾何連續統理論，這個成果是唯一能和兩千多年後的現代無理數理論相媲美的．數學中這種公理演繹的趨向起源於歐多克斯時代，又在歐幾里得（Euclid）的「原本」中得以成熟．
雖然希臘數學的理論化和公理化的傾向一直是它的一個重要特點，並且曾經產生過巨大的影響．但是，對這一點我們不能過分強調，因為在古代數學中，應用以及同物理現實的聯絡恰恰起了同樣重要的作用，而且那時候人們寧願採用不像歐幾里得那樣嚴密的表達方式．
由於較早地發現了與「不可公度」的量有關的這些困難，使希臘人沒能發展早已為東方所掌握的數字計算的技術．相反，他們卻迫使自己鑽進了純粹公理幾何的叢林之中．於是科學史上出現了一個奇怪的曲折．這或許意味著人類喪失了一個很好的時機．幾乎兩千年來，希臘幾何的傳統力量推遲了必然會發生的數的概念和代數運算的進步，而它們後來構成了近代科學的基礎．
經過了一段緩慢的準備，到17世紀，隨著解析幾何與微積分的發展，數學和科學的革命也開始蓬勃發展起來．雖然希臘的幾何學仍然佔有重要的地位，但是，希臘人關於公理體系和系統推演的思想在17世紀和18世紀不復出現．從一些清清楚楚的定義和沒有矛盾的「明顯」公理出發，進行準確的邏輯推理，這對於數學科學的新的開拓者來說似乎是無關緊要的．通過毫無拘束的直觀猜想和令人信服的推理，再加上荒謬的神祕論以及對形式推理的超人力量的盲目相信，他們征服了一個蘊藏著無限財富的數學世界．但是後來，大發展引起的狂熱逐漸讓位於一種自我控制的批判精神．到了19世紀，由於數學本身需要鞏固已有成果，而且人們也希望把它推向更高階段時不致發生問題（這是受到法國大革命的影響），就不得不回過頭來重新審查這新的數學基礎，特別是微積分及其賴以建立的極限概念．因此19世紀不僅成為一個新的發展時期，而且也以成功地返回到那種準確而嚴謹的證明為其特徵．在這方面它甚至勝過了希臘科學的典範．於是，鐘擺又一次向純粹性和抽象性的一側擺去．目前我們似乎仍然處於這個時期．但是人們可以期望，在純粹數學和具有活力的應用之間產生了這種不幸分離（可能在批判性的審查時期，這是不可避免的）之後，隨之而來的應是一個緊密結合的時代．這種重新獲得的內在力量，更主要的是由於理解更加明晰而達到認識上的極大簡化，將使得今天有可能在不忽略應用的情況下來掌握數學理論．再一次在純數學和應用科學之間建立起有機的結合，在抽象的共性和色彩繽紛的個性之間建立起牢固的平衡，這或許就是不久的將來數學上的首要任務．
這裡不是對數學進行詳細的哲學或心理學的分析的地方．但有幾點應當強調一下．目前過分強調數學的公理演繹特點的風氣，似乎有盛行起來的危險．事實上，那種創造發明的要素，那種起指導和推動作用的直觀要素，雖然常常不能用簡單的哲學公式來表述，但是它們卻是任何數學成就的核心，即使在最抽象的領域裡也是如此．如果說完善的演繹形式是目標，那麼直觀和構作至少也是一種動力．有一種觀點對科學本身是嚴重的威脅，它斷言數學不是別的東西，而只是從定義和公理推匯出來的一組結論，而這些定義和命題除了必須不矛盾之外，可以由數學家根據他們的意志隨意創造．如果這個說法是正確的話，數學將不會吸引任何有理智的人．它將成為定義、規則和演繹法的遊戲，既沒有動力也沒有目標．認為靈感能創造出有意義的公理體系的看法，是騙人的似是而非的真理．只有在以達到有機整體為目標的前提下，以及在內在需要的引導下，自由的思維才能作出有科學價值的成果來．
儘管邏輯分析的思辨趨勢並不代表全部數學，但它卻使我們對數學事實和它們相互間的依賴關係有更深刻的理解，以及對數學中的主要概念有更深刻的理解，並由此發展了可作為一般科學態度的典範的近代數學觀點．
不論我們持什麼樣的哲學觀點，就科學觀察的目的來說，對一個物件的認識，完全表現在它與認識者（或儀器）的所有可能關係之中．當然僅僅是感覺並不能構成知識和見解，必須要與某些基本的實體即「自在之物」相適應、相印證．所謂「自在之物」並不是物體觀察的直接物件，而是屬於形而上學〔1〕的．然而，對於科學方法來說，重要的是應放棄帶有形而上學性質的因素，而去考慮那些可觀測的事實，把它們作為概念和構作的最終根源．放棄對「自在之物」的領悟，對「終極真理」的認識以及關於世界的最終本質的闡明，這對於質樸的熱誠者來說，可能會帶來一種心理上的痛苦，但事實上它卻是近代思想上最有成效的一種轉變．
物理學上所取得的一些最偉大的成就，正是由於敢於堅持「消除形而上學」這個原則的結果．當愛因斯坦（A. Einstein）試圖把「在不同地方同時發生的事件」這一概念歸結為可觀測的現象時，當他揭露出，認為上述概念必須有它自身的科學意義的信念只是形而上學的偏見時，他已發現了他的相對論的關鍵所在．當玻爾（N. Bohr）和他的學生們指出，任何物理觀測必然伴隨著觀測工具對被觀測物件的影響這個事實時，問題變得很清楚，在物理上，同時準確地確定一個粒子的位置和速度是不可能的．這個發現的深遠意義體現在為每個物理學家所熟悉的近代量子力學的理論中．在19世紀流行著一種概念，認為機械力和粒子在空間中的運動是自在之物，而電、光和磁都應當歸結為力學現象或者作為力學現象來「解釋」，正如以前處理「熱」的方法那樣．人們曾經假設過「以太」，作為一種假設性的媒介物，把它用於那些對我們來說不能完全加以解釋的運動中，例如光或電．後來人們才慢慢地認識到以太是肯定無法觀測到的，它屬於形而上學，而不屬於物理學．於是乎，在某些方面感到憂慮，而在另一些方面又感到安慰的心情下，關於光和電的力學解釋連同以太最後一齊都被放棄了．
在數學中有些情況與此相類似，甚至更為突出．世世代代以來，數學家一直把他們研究的物件，例如數、點等等，看成實實在在的自在之物．但是，準確地描述這些實體的種種努力總是被這些實體自身給否定了．從而十九世紀的數學家逐漸開始懂得，要問當作實體的這些物件究竟是什麼，這是沒有意義的，即使有的話也不可能在數學範圍內得到解決．所有適合它們的論斷都不涉及這些實體的現實，而只說明數學上「不加定義的物件」之間的相互關係以及它們所遵循的運演算法則．至於點、線、數，「實際上」是什麼，這不可能也不需要在數學科學中加以討論．「可驗證」的事實只是結構和關係：兩點決定一直線，一些數按照某些規則組成其他一些數，等等．基本的數學概念必須抽象化，這一見解是近代公理化發展中最重要和最豐富的成果之一．
幸運的是，創造性的思維不顧某些教條的哲學信仰而繼續發展著，而如果思維屈從於這種信仰就會阻礙出現建設性的成就．不論對專家來說，還是對普通人來說，唯一能回答「什麼是數學」這個問題的，不是哲學而是數學本身中的活生生的經驗。
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